Preparaçao para prova de ingresso: Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине $B$ — это угол, смежный с углом $\alpha$ . Если угол $\alpha$ острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

$\sin \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = \sin \alpha$
$\cos \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \cos \alpha$
$tg \, \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \, tg \, \alpha$

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}}$ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине $A$ .

Внешний угол прямоугольного треугольника

Пусть $\varphi$ — внешний угол при вершине $A$ .

$\cos \varphi = - \cos A = - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}}$

Зная $\cos \varphi$ , найдем $tg \, \varphi$ по формуле

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos^2 \varphi}= 1 + tg^2 \, \varphi$

Получим: $tg \, \varphi= - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = - 0,25$

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\cos A = 0,1$ . Найдите синус внешнего угла при вершине $B$ .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов $A$ и $B$ равна $90^{\circ}$ , $\sin B = \cos A = 0,1$ . Тогда и синус внешнего угла при вершине $B$ также равен $0,1$ .

Preparaçao para prova de ingresso

Monday, 12 March 2018

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

No comments:

Post a Comment