Tuesday, 13 March 2018

Como Calcular a Diferencial de um Polinômio

Diferenciar uma função polinomial pode ajudar a controlar a mudança de sua inclinação. Para diferenciar uma função polinomial, tudo que você tem que fazer é multiplicar os coeficientes de cada variável por seus expoentes correspondentes, reduzir cada expoente em um grau, e remover quaisquer constantes. Se você quiser saber como decompô-lo em alguns passos simples, continue lendo.

Passos

Identifique os termos variáveis e constantes na equação. Um termo variável é qualquer termo que inclua uma variável e um termo constante é qualquer termo que tem apenas um número sem uma variável. Encontre os termos variáveis e constantes nesta função polinomial = 5x³ + 9x² + 7x + 3

As variáveis são 5x³, 9x², e 7x
O termo constante é 3

Multiplique os coeficientes de cada variável pelo seus respectivos expoentes.Os produtos da multiplicação formarão os novos coeficientes da equação diferenciada. Quando você descobrir os produtos, coloque-os na frente de suas respectivas variáveis. Veja como se faz:

5x³ = 5 x 3 = 15
9x² = 9 x 2 = 18
7x = 7 x 1 = 7

diminua um grau de cada expoente. Para fazer isso, simplesmente subtraia 1 de cada expoente em cada termo variável. Veja como:

5x³ = 5x²
9x² = 9x¹
7x = 7

Recoloque os coeficientes e expoentes antigos com suas novas contrapartes.Para terminar de diferenciar a equação polinomial, simplesmente substitua os coeficientes antigos pelos novos e substitua os expoentes antigos pelos novos valores diminuidos por 1 grau. A derivada das constantes é zero, então você pode omitir 3, o termo constante, do resultado final.

5x³ vira 15x²
9x² vira 18x
7x vira 7
a derivada do polinômio y = 5x³ + 9x² + 7x + 3 é y = 15x² + 18x + 7

Encontre o valor da nova equação dado um valor ‘’x”. para encontrar o valor de "y" com um dado valor "x," apenas substitua todos os "x"s na equação com o valor de "x" dado e resolva. Por exemplo, se você quer encontrar o valor da equação x = 2, simplesmente coloque o número 2 no lugar de cada x na equação. Veja aqui como:

2 --> y = 15x² + 18x+ 7 = 15 x 2² + 18 x 2 + 7 =
y = 60 + 36 + 7 = 103
O valor da equação no x = 2 é 103.

Dicas

A regra conhecida como a mais importante das regras de cálculo ensina:: d/dx[axⁿ]=nax^n-1
Você consegue encontrar integrais indefinidas de polinômios da mesma forma, só que ao inverso. Digamos que você tenha 12x² + 4x¹ +5x⁰ + 0. Então você apenas adiciona 1 a cada expoente e divide pelo novo expoente. O resultado sera 4x³ + 2x² + 5x¹ + C, onde C é uma constante, já que você não pode dizer qual vai ser o valor do termo constante.
Lembre que a definição de derivada é: lim como h->0 de [f(x+h)-f(x)]/h
Lembre que este método somente funciona quando o expoente é uma cosntante. Por exemplo, d/dx x^x não é x(x^(x-1))=x^x, mas sim x^x(1+ln(x)). A regra somente aplica-se a x^n para n constante.
Se você tiver expoentes negativos ou fracionados, não se preocupe! Eles seguem a mesma regra. Se por exemplo você tiver x^-1 vai ficar -x^-2 e x^1/3 vira (1/3)x^-2/3.

Monday, 12 March 2018

Derivadas

Aula 01

Aula 02

Aula 03 - Derivada de Constante

Aula 04 -

DERIVADA POLINÔMIO de grau 3 usando a definição [demonstração]

Uma maneira mais facil :

Como Calcular a Diferencial de um Polinômio

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине $B$ — это угол, смежный с углом $\alpha$ . Если угол $\alpha$ острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

$\sin \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = \sin \alpha$
$\cos \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \cos \alpha$
$tg \, \left( 180^{\circ} - \alpha \right) = - \, tg \, \alpha$

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\cos A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}}$ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине $A$ .

Внешний угол прямоугольного треугольника

Пусть $\varphi$ — внешний угол при вершине $A$ .

$\cos \varphi = - \cos A = - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{17}}$

Зная $\cos \varphi$ , найдем $tg \, \varphi$ по формуле

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos^2 \varphi}= 1 + tg^2 \, \varphi$

Получим: $tg \, \varphi= - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = - 0,25$

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\cos A = 0,1$ . Найдите синус внешнего угла при вершине $B$ .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов $A$ и $B$ равна $90^{\circ}$ , $\sin B = \cos A = 0,1$ . Тогда и синус внешнего угла при вершине $B$ также равен $0,1$ .

Cosinus, Sinus, Tangens, Cotangens

http://ualgpre.blogspot.pt/p/matematica.html

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается $C$ . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается $a$ .

Угол $A$ обозначается соответствующей греческой буквой $\alpha$ .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет $a$ , лежащий напротив угла $\alpha$ , называется противолежащим (по отношению к углу $\alpha$ ). Другой катет $b$ , который лежит на одной из сторон угла $\alpha$ , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

$tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

$tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

$ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}$

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{\circ}$ .
С одной стороны, $\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $\cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ , поскольку для угла $\beta$ катет а будет прилежащим.Получаем, что $\cos \beta =\sin \alpha$ . Иными словами, $\cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ .Поделим обе части на $\cos^2 A$ : $\sin^2 A +\cos^2 A=1$ Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на $\cos^2 A$ , получим: $1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла $\alpha$ , то мы сразу можем найти его косинус.Аналогично,
$1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ .

Таблица тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс

Image result for Таблица тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\sin A = 0,1$ . Найдите $\cos B$ .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{\circ}$ , $\sin A = \cos B = 0,1$ .

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB=5$ , $\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$ . Найдите $AC$ .

Имеем:

$\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$

Отсюда

$BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}$

Найдем $AC$ по теореме Пифагора.

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8$

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ или с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в $\sqrt{2}$ раз больше катета.